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==基础知识==
*贝叶斯和频率论解释的差异: [http://en.wikipedia.org/wiki/Lindley%27s_paradox Lindley's paradox  ]

===Moment-generating function===
*定义
:<math> M_X(t) := \mathbb{E}\!\left[e^{tX}\right], \quad t \in \mathbb{R}, </math>
*特性：该函数可以找到 all the moments of the distribution.

: <math>
e^{t\,X} = 1 + t\,X + \frac{t^2\,X^2}{2!} + \frac{t^3\,X^3}{3!} + \cdots +\frac{t^n\,X^n}{n!} + \cdots.
</math>

即有:

: <math>
\begin{align}
M_X(t) = \mathbb{E}(e^{t\,X}) &= 1 + t \,\mathbb{E}(X) + \frac{t^2 \,\mathbb{E}(X^2)}{2!} + \frac{t^3\,\mathbb{E}(X^3)}{3!}+\cdots + \frac{t^n\,\mathbb{E}(X^n)}{n!}+\cdots \\
& = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} + \frac{t^3m_3}{3!}+\cdots + \frac{t^nm_n}{n!}+\cdots,
\end{align}
</math>

*[[The Pearson diagram]]

===中位值,平均值.最可几值（median,mean,mode)===
*中位值对应的误差mean absolute error function
<math>mae(a) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n |x_i - a|, \quad a \in \R</math>
:中位值的误差 π4n/(2n+1)*σ/sqrt(N),比平均值误差大 (假设高斯分布）

*平均值对应的误差是 mean square error function 
<math>mse(a) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (x_i - a)^2, \quad a \in \R </math>
:参考[http://www.math.uah.edu/stat/sample/Variance.html]


*对称分布mean=median=mode
*mean-mode=3(mean-median)

===方差，标准偏差，误差===
====样本方差（sample variance）====
<math>
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (x_i - m)^2
</math>
:证明参考：[http://www.math.uah.edu/stat/sample/Variance.html]

*样本方差的分布
<math>\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\dfrac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)</math>
:证明参考[https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/174] [http://mathworld.wolfram.com/SampleVarianceDistribution.html]

:chi-square(n)分布的variance是2n，因此样本方差的误差为<math>\sigma^2\sqrt{\frac{2}{n-1}} </math>

====标准偏差（standard deviation）====

<math>
S = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (x_i - m)^2}
</math>

:其无偏估计比较复杂，其误差近似为<math>\sigma/\sqrt{2(n-1)}</math>具体可参考[[file:stderr.pdf]]

===例子===
*两组数据混合之后的均值和弥散
:数组 A (i=1,N1), 其均值为 M1，弥散为 S1,数组 B(i=1,N2),其均值为M2,弥散为S2,现将A，B混合组成数组C，求其均值M3和弥散S3
 M3=(N1*M1+N2*M2)/(N1+N2)
 (N1+N2)*S3^2=N1*S1^2+N2*S2^2+(N1^2+N2^2)/(N1+N2)^2*(M1-M2)^2

==分布函数==
*Dirichlet distribution
:被用来构建非参数的SFH，[arXiv.1901.02877]
:多维的[beta分布 | https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution]，

==极值统计==
极值统计在天文中有较多应用：如观测到的高红移星系团，大的void的是否符合halo mass function的预言？ BCG的光度是否符合光度函数的极值分布？
*arxiv:1108.1358 给出了halo mass function的极值分布函数的近似，表明要用极值来区分非高斯性是有困难的。
*arxiv:1108.5458 ： 在拿观测和理论模型进行比较的时候，可以在两个极端之间 ，1观测样本是极限情况（least probable），2，随机情况。
*在讨论观测样本的可能数目（比如一定体积限内大于多少质量的星系团的个数）之外，还可以进一步比较观测量（比如）的分布情况。
              
*极值统计的两种近似(arXiv: 1201.3526)
:*GEV (general extreme value): Gnedenko approach 比如一个空间内最大质量星系团不超过某个极值的概率
:*The Pareto approach 这是一个条件概率，比如是在大于某个极限的星系团中，超过这个极限某个数值的概率。
:*这两个概率在极限情况下，就是比如星系团的极值都设得特别大的情况下都是1. 但是在非极限情况下不一致，条件概率比GEV更小一点。

==Bayesian approach==
*Hierarchical Bayesian Meta-Analysis [http://adsabs.harvard.edu/abs/2015ApJ...806...96L] [http://arxiv.org/abs/1607.05281]
:一种混合模型，可以结合不同的观测数据，这些数据甚至是不自洽的，有缺陷的。


==参考网站==
*http://www.math.uah.edu/stat/
*https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/