数理统计

来自Shiyin's note
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基础知识

贝叶斯和频率论解释的差异
Lindley's paradox

中位值和平均值

参看http://www.math.uah.edu/stat/sample/Variance.html

  • 中位值对应的误差mean absolute error function

解析失败 (语法错误): {\displaystyle <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub>} mse(a)=1n−1∑i=1n(xi−a)2,a∈R

  • 平均值对应的误差是 mean square error function

mae(a)=1n−1∑i=1n|xi−a|,a∈R


  • 中位值的误差 1.253*sigma/sqrt(N),比平均值误差大 (假设高斯分布)

方差,标准偏差,误差

  • 样本方差(sample variance)

s2=1n−1∑i=1n(xi−m)2s2=1n−1∑i=1nx2i−nn−1m2s2(x)=nn−1[m(x2)−m2(x)]s2=12n(n−1)∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2 证明参考:http://www.math.uah.edu/stat/sample/Variance.html

  • 样本方差的分布可以用Chi-square分布近似

(n−1)S2σ2=∑ni=1(Xi−X¯)2σ2∼χ2(n−1) 证明参考https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/174

严格形式http://mathworld.wolfram.com/SampleVarianceDistribution.html




  • 标准偏差的误差,0.71**sigma/sqrt(N) (假设高斯分布)

例子

两组数据混合之后的均值和弥散

数组 A (i=1,N1), 其均值为 M1,弥散为 S1 数组 B(i=1,N2),其均值为M2,弥散为S2

现将A,B混合组成数组C,求其均值M3和弥散S3

M3=(N1*M1+N2*M2)/(N1+N2)

(N1+N2)*S3^2=N1*S1^2+N2*S2^2+(N1^2+N2^2)/(N1+N2)^2*(M1-M2)^2

极值统计

极值统计在天文中有较多应用:如观测到的高红移星系团,大的void的是否符合halo mass function的预言? BCG的光度是否符合光度函数的极值分布?

  • arxiv:1108.1358 给出了halo mass function的极值分布函数的近似,表明要用极值来区分非高斯性是有困难的。
  • arxiv:1108.5458 : 在拿观测和理论模型进行比较的时候,可以在两个极端之间 ,1观测样本是极限情况(least probable),2,随机情况。
  • 在讨论观测样本的可能数目(比如一定体积限内大于多少质量的星系团的个数)之外,还可以进一步比较观测量(比如)的分布情况。
  • 极值统计的两种近似(arXiv: 1201.3526)
  • GEV (general extreme value): Gnedenko approach 比如一个空间内最大质量星系团不超过某个极值的概率
  • The Pareto approach 这是一个条件概率,比如是在大于某个极限的星系团中,超过这个极限某个数值的概率。
  • 这两个概率在极限情况下,就是比如星系团的极值都设得特别大的情况下都是1. 但是在非极限情况下不一致,条件概率比GEV更小一点。