“数理统计”的版本间差异

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*对称分布mean=median=mode
*对称分布mean=median=mode
*mean-mode=3(mean-median)
*mean-mode=3(mean-median)





===方差,标准偏差,误差===
===方差,标准偏差,误差===
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M3=(N1*M1+N2*M2)/(N1+N2)
M3=(N1*M1+N2*M2)/(N1+N2)
(N1+N2)*S3^2=N1*S1^2+N2*S2^2+(N1^2+N2^2)/(N1+N2)^2*(M1-M2)^2
(N1+N2)*S3^2=N1*S1^2+N2*S2^2+(N1^2+N2^2)/(N1+N2)^2*(M1-M2)^2

===两个不等式===
*马尔科夫不等式:在知道样本期望和方差的情况下,对随机变量取值的概率约束
*切比雪夫不等式:在只有样本数学期望的情况下,对随机变量的估值约束


==分布函数==
==分布函数==
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:一种混合模型,可以结合不同的观测数据,这些数据甚至是不自洽的,有缺陷的。
:一种混合模型,可以结合不同的观测数据,这些数据甚至是不自洽的,有缺陷的。


==专题==

*[[copula]]
==参考网站==
==参考网站==
*http://www.math.uah.edu/stat/
*http://www.math.uah.edu/stat/

2021年8月25日 (三) 06:36的最新版本

基础知识

Moment-generating function

  • 定义
  • 特性:该函数可以找到 all the moments of the distribution.

即有:

中位值,平均值.最可几值(median,mean,mode)

  • 中位值对应的误差mean absolute error function

中位值的误差 π4n/(2n+1)*σ/sqrt(N),比平均值误差大 (假设高斯分布)
  • 平均值对应的误差是 mean square error function

参考[1]


  • 对称分布mean=median=mode
  • mean-mode=3(mean-median)



方差,标准偏差,误差

样本方差(sample variance)

证明参考:[2]
  • 样本方差的分布

证明参考[3] [4]
chi-square(n)分布的variance是2n,因此样本方差的误差为

标准偏差(standard deviation)

其无偏估计比较复杂,其误差近似为具体可参考Stderr.pdf

例子

  • 两组数据混合之后的均值和弥散
数组 A (i=1,N1), 其均值为 M1,弥散为 S1,数组 B(i=1,N2),其均值为M2,弥散为S2,现将A,B混合组成数组C,求其均值M3和弥散S3
M3=(N1*M1+N2*M2)/(N1+N2)
(N1+N2)*S3^2=N1*S1^2+N2*S2^2+(N1^2+N2^2)/(N1+N2)^2*(M1-M2)^2

两个不等式

  • 马尔科夫不等式:在知道样本期望和方差的情况下,对随机变量取值的概率约束
  • 切比雪夫不等式:在只有样本数学期望的情况下,对随机变量的估值约束

分布函数

  • Dirichlet distribution
被用来构建非参数的SFH,[arXiv.1901.02877]
多维的[beta分布 | https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution],

极值统计

极值统计在天文中有较多应用:如观测到的高红移星系团,大的void的是否符合halo mass function的预言? BCG的光度是否符合光度函数的极值分布?

  • arxiv:1108.1358 给出了halo mass function的极值分布函数的近似,表明要用极值来区分非高斯性是有困难的。
  • arxiv:1108.5458 : 在拿观测和理论模型进行比较的时候,可以在两个极端之间 ,1观测样本是极限情况(least probable),2,随机情况。
  • 在讨论观测样本的可能数目(比如一定体积限内大于多少质量的星系团的个数)之外,还可以进一步比较观测量(比如)的分布情况。
  • 极值统计的两种近似(arXiv: 1201.3526)
  • GEV (general extreme value): Gnedenko approach 比如一个空间内最大质量星系团不超过某个极值的概率
  • The Pareto approach 这是一个条件概率,比如是在大于某个极限的星系团中,超过这个极限某个数值的概率。
  • 这两个概率在极限情况下,就是比如星系团的极值都设得特别大的情况下都是1. 但是在非极限情况下不一致,条件概率比GEV更小一点。

Bayesian approach

  • Hierarchical Bayesian Meta-Analysis [5] [6]
一种混合模型,可以结合不同的观测数据,这些数据甚至是不自洽的,有缺陷的。

专题

参考网站